基于过程和生成的初中数学有效教学设计及思考

问题提出：

《全日制义务教育数学课程标准》明确规定在七年级（上）阶段要学习“数与代数”中的有理数、整式、方程，“空间与图形”中的图形的变化、展开与折叠、三种视图及平面图形得的认识（一）等知识，探索数、形及实际问题中蕴含的关系和规律，发展数感、符号感，体会数学与现实生活中的联系，增强应用意识，初步培养学生的空间想象能力，了解简单平面图形的性质，发展有条理的表达和思考，提高利用数学知识解决问题的能力．但由于对新课程理念理解不到位以及缺乏经验和能力，课堂教学出现了形式化、低效化的现象，在课堂教学层面所遭遇到的最大的挑战就是低效问题，提升课堂教学的有效性变得非常紧迫．本文结合初中数学教学过程，从课堂教学设计的角度探索如何提高课堂教学的有效性．

对策研究：

一、有效教学设计的认识

1．有效教学：主要是指通过教师在一段时间的教学之后，学生获得的具体进步或发展．也就是说，学生有无进步或发展是有没有效益的唯一指标．教学有没有效益，并不是指教师有没有完成教学内容或教学得认不认真，而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好．有效教学的核心是要促进学生的真正成长，包括知识、能力和情感及创造力的培养，从而让学生身心得到全面健康发展．

2．有效教学教学设计：教学设计是教师为将要进行的教学勾画的图景、流程，反映了教师对自己未来教学的一种认识和期望，教学设计在很大程度上决定了教学活动的成效．有效教学设计会使每一位学生都有最充分地运用自己的潜能去获得发展的机会，从而极大地影响他们数学学习的效果．有效教学取决于有效的教学设计．

二、有效教学设计中要关注学生数学知识的建构过程

1．关注数学概念的形成过程

数学知识有些是生活实际问题中抽象出来的，有些是由于数学自身发展与需要产生的，在教学过程中要关注知识的形成过程，通过创设合适的问题，让学生在原有知识基础上自主建构新的知识，不能将数学知识的教和学变成简单的告知和规定．

概念是反映客观对象的一般的、本质属性的思维形式，是在感觉、知觉和观念诸过程的综合的基础上产生的．每个概念都有一定的内涵和外延：内涵指概念的所包含的一切对象的共同本质属性的总和，而外延是指适合概念的一切对象的范围．内涵与外延存在反比例关系律：内涵越大，外延越小；反之内涵越小，外延越大．

数学概念的形成是学生思维从特殊到一般的过程，数学概念的概括是使概念越来越趋向一般化的思维活动．

【案例1】初中阶段函数概念的形成过程

（1）函数概念的初步建构

函数是“数与代数”中的重要内容，是学生比较难建立的一个抽象数学概念．教材内容安排在八年级（上）第五章，学生在第四章已经对数量、位置的变化有了较多的认识和理解，并掌握了表示数量变化关系的三种方法（表格、图形和数学式子）．函数概念的建构已经有了一定的基础，但学生对变量以及对变量之间的关系还没有认识，需要在函数概念的教学中重点把握．

片段1：《函数》

问题1：如何表示数量的变化？

问题2：观察某日的气温变化图．你从中获得哪些信息？

子问题：①这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．

②这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

③这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？

从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．

问题3：圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝____________．利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入右表，由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就______________．

问题4：上面的问题中气温与时间、面积与半径、π等量有什么特点？你能将它们进行分类吗？

问题5：你能给这些量下个定义?（常量与变量）

问题6：你能刻画像气温与时间、面积与半径之间的关系吗？

…

形成函数概念：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．

问题7：上面的函数关系中，自变量有取值范围吗？

思考：这里从具体的问题情境中建立常量和变量两个概念，在此基础上研究变量之间的关系，从具体的变量关系中概括出函数概念的内涵：“对于变量x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应”，从对应的角度建构函数的一般概念．“问题是数学的心脏”，通过设置“问题串”，在问题解决的过程中初步完成函数概念的形成与建构．

（2）通过具体函数加深函数概念的理解

对函数概念的认识仅停留在内涵是不够的，需要通过函数外延的界定进一步加深对函数的认识．在函数的外延中，有一次函数、反比例函数和二次函数等，对它们的研究有助于学生形成函数的概念．

片段2：《一次函数》

问题1：求下列变量y与变量x之间的函数关系式？

①正方形面积y与边长x之间的函数关系；

②正方形周长y与边长x之间的函数关系；

③长方形的长为常量a时，面积y与宽x之间的函数关系；

④长方形面积为2，长y与宽x之间的函数关系；

⑤长方形的周长为50，长y与宽x之间的函数关系．

问题2：能否将y＝x2，y＝4x，y＝ax，y＝，y＝25－2x进行分类？分类的标准是什么？

问题3：能否给像y＝4x，y＝ax，y＝25－2x等函数起个名字？如何下定义（揭示内涵）？

…

问题4：下列函数哪些是一次函数？哪些是正比例函数？说明你的理由．

①y＝2x－1；②y＝－4x；③y＝2x2－1；④y＝．

思考：这里从概念的外延入手，通过分类和比较，将一次函数的内涵从具体函数关系中抽象出来，形成一次函数概念的内涵；再通过具体的函数关系式对一次函数概念的外延的进行界定，使学生在从特殊到一般再到特殊的思维活动中逐步形成对一次函数概念内涵的认识．

（3）重视研究函数方法的归纳

根据学生认知特点和课程标准的要求，初中教材分别在八年级（上）、八年级（下）和九年级（下）编排一次函数、反比例函数和二次函数等内容，分布比较松散，学生在学习过程中经历螺旋式上升的过程，但不易形成较好的知识和方法系统，在学习过程中就需要整体把握方法，逐步体验和积累学习函数的经验和能力，注重方法的归纳．

①初步形成方法和经验

一次函数内容是学生在初步建构函数概念之后所学习的第一个具体函数，对一次函数的学习是为今后学习函数积累经验的重要阶段，在教学过程中要特别关注一次函数的研究方法及提升．

片段3：《一次函数的图象及性质》

问题1：观察某日的气温变化图．观察该图，你能说出它的特点吗？

气温变化图可以直观地表示出不同时间的气温，反映出气温变化的规律．

问题2：你会画函数y＝x2的图象吗？画函数的一般步骤有哪些？

问题3：你能画函数y＝，y＝2x，y＝3x＋2图象吗？

问题4：观察你所画的函数的图象，你说出一次函数图象的特点吗？你根据这种特点比较简洁地画出一次函数的图象吗？（两点决定一直线）

问题5：画出下列函数图象，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点？

①y＝3x与y＝3x＋2；②y＝x与y＝x＋2；③y＝3x＋2与y＝x＋2．

思考：能否从中发现一些规律？对于直线y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，常数k和b的取值对于直线的位置各有什么影响?对函数的性质有什么影响？

问题6：观察函数y＝2x－1，y＝x，y＝－2x－1，y＝－x的图象，思考当一个点在直线上从左向右移动（自变量x从小到大）时，它的位置如何变化？这种变化与函数关系式中哪个量有关系？

…

比较得到一次函数y＝kx＋b有下列性质：①当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；②当k＜0时，y随x的增大而减少，这时函数的图象从左到右下降．

思考：对一次函数的研究过程，应该初步形成学习函数的方法：①从具体问题中抽象出具体的函数模型；②建构具体函数概念（内涵的概括和外延的界定）；③研究函数的表示和性质（描点法得到函数图象－观察得到函数性质－性质指导下画函数图象）；④利用函数模型解决实际问题（体现数学的应用价值）．

②逐步归纳和提升方法与经验

数学家波利亚说：“类比是伟大的引路人”．类比是科学研究最普遍的方法，它是两个不同对象在某些方面的类同之处，猜测它们之间的相似之处，而做出某种判断的推理．一次函数、反比例函数及二次函数都是具体的函数，属于函数的外延，学习一次函数的过程和方法可以类比应用在其它函数的学习过程中．通过一次函数的学习，学生初步体会和积累了研究和学习具体函数的方法和经验，在后面反比例函数和二次函数的学习中，可以按照已有的方法进行学习，形成研究问题的模型化策略．

片段4：《二次函数》

问题1：①用长为16 m的篱笆围成长方形的生物园饲养兔子，求长方形面积y与一边长x之间的函数关系式；

②求正方形面积y与边长x之间的函数关系式；

③长方形面积为1，求长y与宽x之间的函数关系式；

④长方形周长为2，求长y与宽x之间的函数关系式．

问题2：在上面问题中的函数可以分成几类？哪些是我们学过的？对没有学过的函数有哪些特征？

问题3：什么叫二次函数？

一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的函数称为二次函数．

问题4：你应该如何学习二次函数？

引导学生回顾学习一次函数、反比例函数的过程和方法，类比得到研究二次函数的方法：可以从二次函数的图象入手，用描点法得到二次函数的图象；观察图象，数形结合，得到函数的性质；在函数性质的指导下再次研究二次函数；通过实际问题的应用，体会二次函数是解决生活中有关问题的有效模型．

问题5：请同学们用描点法画出函数的图象，并观察图象的特征．

①研究最简单的二次函数y＝x2的图象；

②研究二次函数y＝2x2的图象；

③研究二次函数y＝2x2＋1的图象；

③研究二次函数y＝2(x－1)2＋1的图象；

⑤研究二次函数y＝2x2－4x＋3的图象．

问题6：二次函数的性质如何？（对称性、开口方向、顶点与函数最值等）

问题7：请根据函数y＝x2－2x－2的性质画出函数的图象(五点作图法)．

思考：二次函数是继一次函数、反比例函数之后的又一重要的代数函数，是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．在教学过程中，可以从整体把握，让学生根据学习一次函数和反比例函数的经验和方法，提出学习的内容和方法（函数的图象－性质－图象－应用）．对比较复杂的二次函数图象的研究，可以简单化、特殊化，再根据类比和推广得到解决问题的一般方法，从而得到二次函数的图象．

课堂教学中学生的学习可能是局部的、零散的，但使学生经历提出问题、研究问题、解决问题的过程，使学生的学习从预先设计的程序中的被动角色转化为掌握方法、自我探究的主动学习者．

在函数及具体函数的学习中，既需要整体形成学习方法，又要根据不同函数的性质确定不同函数的特殊研究方向，为今后在高中学习指数、对数和幂函数做好方法和经验的积累．

2．关注法则规定合理性的理解

数学概念、法则的规定，有些是数学内部的需要，可以用演绎的方法，有些则是合情推理的方式得到．直线（射线、线段）的表示看似规定，但对其合理性的解释也非常重要，在教学中要注意把握．

【案例2】《直线、射线、线段》

问题1：点动成什么图形？直线有什么特征？（直、无限延伸）（几何画板演示）

问题2：点A和直线的位置关系如何？

问题3：过点A的直线有多少条？过两点A，B的直线有几条？（两点确定一条直线）

问题4：如何表示过两点A，B的直线？

问题5：直线AB上一点A将直线分成什么图形？如何表示？有什么特征？

问题6：直线AB上两点A，B之间的图形叫什么？如何表示？

点评：这里根据两点确定一条直线的性质，使学生感受到在直线上确定两点，用表示两点的字母表示直线的合理性和必要性，也将三种简单图形之间的关系渗透在教学的过程中，提高了课堂教学的效率．

3．重视数学活动的探究性

在数学课堂教学中要关注方法的形成和提升，使学生理解数学本身的价值．在数学活动课中尤其要使学生在数学活动中研究数学的本质内涵，而不能仅仅是一节以操作为主的“劳技”课．

【案例3】《包装盒的设计》

活动：30块肥皂：8cm×5cm×2cm，某肥皂厂家想30块肥皂装箱，如何设计纸箱使得用料尽可能少？

活动1：包装一块肥皂：8cm×5cm×2cm，如何设计包装箱使得用料尽可能少？

活动2：包装二块肥皂：8cm×5cm×2cm，如何设计包装箱使得用料尽可能少？

三种方案：8cm×5cm×(2×2)cm；（8×2)cm×5cm×2cm；8cm×(5×2)cm×2cm．

问题①除了搭盒子可以得到三种方案，还有其它方法吗？（从数的角度）

②哪种表面积最少？

③表面积最少的长方体有什么特征？

活动3：包装四块肥皂：8cm×5cm×2cm，如何设计包装箱使得用料尽可能少？

问题：（1）有几种方法？如何得到？

（2）表面积最少的长方体有什么特征？

注意：方法的类比．

问题提升：体积一定的长方体纸盒，如何设计长，宽，高，使得盒子用料最省.

体积一定的长方体，长宽高越接近，用料越少.

体积一定的长方体，越接近“正方体”，用料越少．

问题解决：30块肥皂：8cm×5cm×2cm，某肥皂厂家想30块肥皂装箱，如何设计纸箱使得用料尽可能少

方案：(8×2)cm×(5×3)cm×(2×6)cm．

点评：本课让学生经历研究问题的一般方法：从简单问题入手，从操作中感悟数学方法，用类比的数学方法解决复杂问题．教师对活动中的数学问题要进行抽象，理解其中的道理．即：长方体体积是定值，何时表面积最小？设长方体的长、宽、高分别是a，b，c，则abc是常数．表面积等于2(ab＋bc＋ca)．则ab＋bc＋ca≥3，当且仅当a＝b＝c时“＝”成立．∴当a＝b＝c时，长方体的表面积最小．

三、有效教学设计中要关注课堂生成性资源的利用

课堂教学过程是由教师和学生共同参与，以教学内容为载体的思维过程，教师教学设计能否得到有效完成，取决于设计中对教学的预设的合理性及对课堂中生成性内容的处理．

【案例4】《探索三角形全等的条件》(边角边)

活动1：用一张长方形纸，剪一个直角三角形，怎样使全班同学的直角三角形全等？

预设：学生在相邻两个边上，对应取点A，B，使OA＝a，OB＝b；

生成：学生将两张纸片重叠，一刀剪下重合的两个直角三角形，一定全等；

预设生成：

教师在投影片上给出两个长方形，如何得到两个全等的直角三角形？

并强调不能够用重叠的方法解决．

 

点评：这里“逼”学生向设计中预设的目标靠近，达到活动的目的．在教学中，要让学生进行“真活动”，而非“假活动”．

活动2：已知∠α，线段a，b，画△ABC，使∠C＝∠α，CB＝a，CA＝b．

预设：设∠α＝45埃?5敖牵醚延薪巧匣切危?/P>

生成：有同学直接将表示角的两边的另两个端点连接，没有理解要求；

预设生成1：设∠α＝45埃琣＝2cm，b＝3 cm，让学生已有角上画三角形；

预设生成2：不给出角，让学生自己画角，避免前面出现的问题；

预设生成3：在几何画板中画出满足条件的两个三角形，再移动一个三角形，验证是否重合(合理使用现代教育技术可以帮助学生进行探究和思考)．

点评：生成性资源是课堂教学中鲜活的内容，教师在教学设计时要根据不同的生源，充分预设各种可能生成的内容，积极应对，在课堂教学中灵活处理，千万不能对课堂生成的资源视而不见．

四、有效课堂教学设计中要关注学生的差异

学生的发展有各自的特点，存在形形色色的差异，包括不同的学习风格和学习层次，在课堂教学设计时要充分考虑学生的经验、能力，一切为了面对的学生个体的发展．

【案例5】《探索三角形全等的条件》(边边边)

设计1：按下列画法，用圆规和刻度尺画一个三角形：

（1）画线段AB=8cm；

（2）分别以点A、B为圆心，6cm、4cm的长为半径画弧，两弧相交于点C；

（3）连接AC、BC；

问题：你所画的三角形与同学画的三角形全等吗？

点评：这样设计，适合画图能力较弱的学生．

设计2：已知线段a，b，c(a＜b＜c)，能否画△ABC，使AB＝c，BC＝a，AC＝b？

问题1：a，b，c应该满足什么条件，才能画△ABC？

问题2：如何利用直尺和圆规画三角形？若确定AB边位置，能画几个三角形？

问题3：请你比较你所画三角形的形状和大小，能否重合？可以通过什么方法验证？

点评：适合画图和探究能力较强的学生．

五、几点思考

1．务必以新课标理念统领教学设计

教师宜将新课标所倡导的理念落实到教学设计中，依“标”靠“本”，注重基础，抓好核心内容的设计的同时，要引导学生关注生活，让学生多经历一些“再发现”和“再创造”的过程，切实培养学生的数学能力，为学生发展服务．

2．将学生阅读理解和表述能力渗透在教学设计中

在教学设计时，教师要分析学情，要多创造条件，培养学生在新情境中获取信息和分析信息的能力，培养学生的知识迁移能力和利用所得信息认识新事物的能力．另外教师要强化数学语言的教学设计，培养学生口头、书面表述能力，以求表述的准确性、逻辑性、流畅性、完整性．设计时充分考虑学生审题能力，不能以教师的审题代替学生的审题，降低学生审题的水平．

3．注重学生创新意识和实践能力的培养在教学设计中体现

要把培养学生的创新意识和实践能力当作数学教学设计的一个重要目的和基本原则．在教学设计时要多创设一些新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，为学生提供一些自主探索和发现的空间，激发学生的好奇心和求知欲，通过独立思考，使学生发现、提出和创造性地解决问题，逐步培养学生的探索和研究问题能力．

4．在教学设计中合理设置有效“问题串”

数学学习的实质是解决数学问题．课堂教学中的问题的设置，可以让师生之间进行思想交流和思维碰撞，产生火花，完成教学任务．我们在课堂教学中要设置有效的“问题串”，有效地“问题串”的特征：

①可及性：问题的设计要符合学生的认知规律、身心发展规律，不能过难，跳一跳，够得到；

②启发性：问题的设计要对理解课堂重点和难点有利，启发学生思考和活动；

③探究性：问题的设计要有利于课堂中师生展开探究活动，便于建构数学理论；

④挑战性：问题的设计要能引起学生的认知冲突和学习心向，激发学生的学习兴趣，促进学生积极参与活动，解决有挑战性的问题．

从教学效果和教学过程分析，所设置的问题若处于学生思维水平的最近发展区，能激发学生的好奇心和求知欲，是非常有效的“问题串”，便于学生的“再创造”．

参考文献：

1．《有效教学方法》[美]加里·D．鲍里奇 著 江苏教育出版社

2．《全日制义务教育数学课程标准》 北京师范大学出版社

3．《全日制义务教育数学课程标准解读》 北京师范大学出版社

4．《教师教学究竟靠什么－谈新课程的教学观》北京大学出版社

 

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